Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，,.

（1）求,的值;

（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列滿足，，求證：.

Answer 1

【答案】(1),;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)令 即可求出,的值;

(2)由得兩式相減進(jìn)行整理可得,即可證明為等差數(shù)列.

(3)由(2)可知,兩式相減整理得,則當(dāng)時(shí),,通過(guò)放縮即可證明; 當(dāng)時(shí),.從而可證.

解:(1)令得,,又,解得;

令得,,即,從而.

(2)因?yàn)?/span> ①;所以 ②

①-②得,.因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),所以.

從而.

去分母得,

化簡(jiǎn)并整理得,,即,

所以.所以數(shù)列為等差數(shù)列.

(3)由(2)知, ③.當(dāng)時(shí),,又,所以.

由③知, ④.③-④得,

即,依題意,,所以.

當(dāng)時(shí),

,當(dāng)時(shí),,原不等式也成立.

綜上得,.