【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C＝sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A．
（1）證明：△ABC是正三角形；
（2）如圖，點D在邊BC的延長線上，且BC＝2CD，AD
，求sin∠BAD的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
．
【解析】
（1）由已知利用正弦定理可得
，再配方得
，則
，因此
是正三角形；
（2）由已知條件可得
，
，再由余弦定理可得
，又
，利用正弦定理即可得到結論.
（1）證明：∵sin2A+sin2B+sin2C＝sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A
∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）∵△ABC是等邊三角形，BC＝2CD，
∴AC＝2CD，∠ACD＝120°，
∴在△ACD中，由余弦定理，得AD2＝AC2+CD2﹣2ACCDcos∠ACD，
∴7＝4CD2+CD2﹣4CDCDcos120°，∴CD＝1，
在△ABC中，BD＝3CD＝3，
由正弦定理，得sin∠BAD
．
快樂暑假暑假能力自測中西書局系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
中
，函數
．
（1）若正項數列
滿足
，試求出
， 
， 
，由此歸納出通項
，并加以證明；
（2）若正項數列
滿足
（n∈N*），數列
的前項和為Tn，且
，求證： 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
（
，
）的一條漸近線方程為
，點
在雙曲線上；拋物線
（
）的焦點F與雙曲線的右焦點重合.
（1）求雙曲線和拋物線的標準方程；
（2）過焦點F作一條直線l交拋物線于A，B兩點，當直線l的斜率為
時，求線段
的長度.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】受電視機在保修期內維修費等因素的影響，企業生產每臺電視機的利潤與該電視機首次出現故障的時間有關.某電視機制造廠生產甲、乙兩種型號電視機，保修期均為2年，現從該廠已售出的兩種型號電視機中各隨機抽取50臺，統計數據如下：
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出現故障時間x（年） |
|
|
|
|
|
電視機數量（臺） | 3 | 5 | 42 | 8 | 42 |
每臺利潤（千元） | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.8 |
將頻率視為概率，解答下列問題：
（1）從該廠生產的甲種型號電視機中隨機抽取一臺，求首次出現故障發生在保修期內的概率；
（2）該廠預計今后這兩種型號電視機銷量相當，由于資金限制，只能生產其中一種型號電視機，若從經濟效益的角度考慮，你認為應該產生哪種型號電視機？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點Pn(an，bn)滿足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝
(n∈N*)，且點P1的坐標為(1，－1)．
(1)求過點P1，P2的直線l的方程；
(2)試用數學歸納法證明：對于n∈N*，點Pn都在(1)中的直線l上
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一只藥用昆蟲的產卵數y與一定范圍內的溫度x有關，現收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數據如下表：
溫度x/℃ | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產卵數y/個 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
經計算得：
，
，
線性回歸模型的殘差平方和
，
，
其中
分別為觀測數據中的溫度和產卵數，
（1）若用線性回歸模型，求y關于x的回歸方程
（精確到0.1）；
（2）若用非線性回歸模型求得y關于x的回歸方程為
，且相關指數
.
①試與1中的回歸模型相比，用
說明哪種模型的擬合效果更好.
②用擬合效果好的模型預測溫度為35℃時該用哪種藥用昆蟲的產卵數（結果取整數）
附：一組數據
其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為
，
；相關指數
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地攪混在一起，從中任意取出一個，則取出的小正方體兩面涂有油漆的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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