Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=30°，AB=2，AD=

3

，E是SC的中點．
（Ⅰ）求證：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：AD⊥SB；
（Ⅲ）若SD=2，求棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC交BD于F，連接EF，證明SA∥EF，然后證明SA∥平面BDE．
（Ⅱ）利用余弦定理推出AD⊥BD．證明AD⊥SD，然后證明AD⊥SB．
（Ⅲ）若SD=2，求出E到底面的距離，求出底面面積，利用等體積求解求棱錐C-BDE的體積．

解答：解：（Ⅰ）連接AC交BD于F，連接EF，由ABCD是平行四邊形，知F為AC的中點，
又E為SC的中點，所以SA∥EF，
∵SA?平面BDE，EF?平面BDE，
∴SA∥平面BDE．（4分）
（Ⅱ）由AB=2，AD=

3

，∠BAD=30°，及余弦定理得
取BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=1，
∵AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥SD，
∴AD⊥平面SBD，又SB?平面SBD，
∴AD⊥SB．（8分）
（Ⅲ）SD=2，所以E到底面的距離為1，
S△BCD=

1

2

BC•CD•sin∠BCD=

1

2

×2×

3

×

1

2

=

3

2

，
VC-BDE=VE-BCD= 

1

3

×

3

2

×1= 

3

6

（12分）

點評：本題考查直線與平面平行，直線與直線垂直直線與平面垂直的應用，幾何體的體積的求法，考查計算能力，空間想象能力．