Question

如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，其左焦點到點P（2，1）的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△ABP的面積取最大時直線l的方程

Answer 1

解：（Ⅰ）由題：； （1）
左焦點（-c，0）到點P（2，1）的距離為：（2）
由（1）（2）可解得：
∴所求橢圓C的方程為：。
（Ⅱ）易得直線OP的方程：y＝x，
設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），R（x₀，y₀）
其中y₀＝x₀
∵A，B在橢圓上，
∴
設直線AB的方程為l：y＝﹣（m≠0），
代入橢圓：
顯然
∴﹣＜m＜且m≠0
由上又有：＝m，＝
∴|AB|＝||＝＝
∵點P（2，1）到直線l的距離為：
∴S_△ABP＝d|AB|＝|m＋2|，
當|m＋2|＝，即m＝-3 or  m＝0（舍去）時，
（S_△ABP）max＝
此時直線l的方程y＝-。