Question

如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四點共圓．

(1)證明：CA是△ABC外接圓的直徑；

(2)若DB＝BE＝EA，求過B，E，F，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)證明：因為CD為△ABC外接圓的切線，

所以∠DCB＝∠A.由題設知，

故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.

因為B，E，F，C四點共圓，

所以∠CFE＝∠DBC，

故∠EFA＝∠CFE＝90°，

所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圓的直徑．

(2)連接CE，因為∠CBE＝90°，

所以過B，E，F，C四點的圓的直徑為CE.

由DB＝BE，有CE＝DC.

又BC2＝DB·BA＝2DB2，

所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.

而CE2＝DC2＝DB·DA＝3DB2，

故過B，E，F，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.