Question

已知點集L={（x，y）|y=

m

•

n

}，其中

m

=（2x-b，1），

n

=（1，b+1），點列P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）在L中，p₁為L與y軸的交點，數列{a_n}是公差為1的等差數列．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若f（n）=

an，(n為奇數) bn，(n為偶數)

，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），試寫出S_n關于n的表達式；
（Ⅲ）若f（n）=

an，(n為奇數) bn，(n為偶數)

，給定奇數m（m為常數，m∈N⁺，m＞2）．是否存在k∈N⁺，，使得
f（k+m）=2f（m），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）首先運用向量數量積的運算得

m

•

n

=（2x-b）+（b+1）=2x+1，然后再根據等差通項公式得a_n=a₁+（n-1）×1=n-1，最后在根據b_n=2a_n+1，得b_n=2n-1
（Ⅱ）此小問關鍵在于分類討論（1）當n=2k時（2）當n=2k-1時，然后根據等差數列的求和公式即可；
（Ⅲ）先假設存在k∈N⁺，使得f（m+k）=2f（m），因為m為奇數；再分k為奇數和k為偶數兩種情況分別求出對應的k的值即可．

解答：解（Ⅰ）y=

m

•

n

=（2x-b）+（b+1）=2x+1
∵y=2x+1與y軸的交點P₁（a₁，b₁）為（0，1）
∴a₁=0；
∵等差數列{a_n}的公差為1
∴a_n=a₁+（n-1）×1，即a_n=n-1，
因為P_n（a_n，b_n）在y=2x+1上，所以b_n=2a_n+1，即b_n=2n-1
（Ⅱ）由題意得：
f（n）=

n-1     (  n=2k-1，k∈N+) 2n-1   (n=2k，k∈N+)

①當n=2k時，s_n=s_2k=a₁+b₂+a₂+b₄+…+a_2k-1+b_2k
=（a₁+a₂+…+a_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=

0+2k-2

2

×k+

3+4k-1

2

×k=3k²．
因為k=

n

2

．所以Sn=

3

4

n2
②當n=2k-1時，S_n=S_2k-1=S_2k-2+f（2k-1）
=3（k-1）²+2k-2=3k²-4k+1．
因為k=

n+1

2

．所以S_n=

3

4

n2-

n

2

-

1

4

．
因此S_n=

3 4 n2           (n=2k，k∈N+) 3 4 n2- n 2 - 1 4    (n=2k-1，k∈N+)

．
（Ⅲ）假設存在k∈N⁺，使得f（m+k）=2f（m），因為m為奇數，
（1）若k為奇數，則k+m為偶數，于是f（m）=m-1，f（m+k）=2（m+k）-1，
由2（m+k）-1=2（m-1），得k=-

1

2

與k∈N⁺矛盾；（11分）
（2）若k為偶數，則k+m為奇數，于是f（m）=m-1，f（m+k）=（m+k）-1，
由（m+k）-1=2（m-1），得k=m-1（m-1是正偶數）．（13分）
綜上，對于給定奇數m（m為常數，m∈N⁺，m＞2），這樣的k總存在且k=m-1．（14分）

點評：本題是對數列知識與函數知識的綜合考查．在本題的第二問和第三問均用到了分類討論思想，分類討論的熟練應用是解決本題的關鍵．