Question

如圖，直線l₁與l₂是同一平面內兩條互相垂直的直線，交點是A，點B、D在直線l₁上(B、D 位于點A右側)，且|AB|=4，|AD|=1，M是該平面上的一個動點，M在l₁上的射影點是N，且|BN|=2|DM|.

(Ⅰ) 建立適當的坐標系，求動點M的軌跡C的方程．

(Ⅱ)過點D且不與l₁、l₂垂直的直線l交(Ⅰ)中的軌跡C于E、F兩點；另外平面上的點G、H滿足：①②③求點G的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) 以A點為坐標原點，l₁為x軸，建立如圖所示的坐標系，則D(1，0)，B(4，0)，動點M的軌跡方程為.

(Ⅱ點G的橫坐標的取值范圍為(0，）.

解析:

(Ⅰ) 以A點為坐標原點，l₁為x軸，建立如圖所示的坐標系，則D(1，0)，B(4，0)，設M（x，y），

則N（x，0）.   

∵|BN|=2|DM|，    ∴|4－x|=2,

整理得3x²+4y²=12,    ∴動點M的軌跡方程為.

(Ⅱ)∵

∴A、D、G三點共線，即點G在x軸上；又∵∴H點為線段EF的中點；又∵∴點G是線段EF的垂直平分線GH與x軸的交點。        

設l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x²+4y²=12得

(3+4k²)x²－8k²x+4k²－12=0，由于l過點D(1，0)是橢圓的焦點，

∴l與橢圓必有兩個交點，

設E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，EF的中點H的坐標為（x₀，y₀），

∴x₁+x₂=，x₁x₂=  ，      

x₀= = ，y₀=k(x₀－1)= ，   

∴線段EF的垂直平分線為

y－ y₀ =－  (x－x₀)，令y=0得，

點G的橫坐標x_G = ky₀+x₀ = + =

= －，

∵k≠0，∴k²>0，∴3+4k²>3，0<<，∴－<－<0，

∴x_G= －(0，）

∴點G的橫坐標的取值范圍為(0，）.