Question

已知動點M到定直線l：x=-

3

2

的距離比到定點（

1

2

，0）的距離多1，
（I）求動點M的軌跡C的方程；
（II）設A（a，0）（a∈R），求曲線C上點P到點A距離的最小值d（a）

Answer 1

（1）設動點M的坐標為（x，y），
由已知條件可知，點M與定點（

1

2

，0）的距離等于它到直線x=-

1

2

的距離．
根據拋物線的定義，點M的軌跡是以定點（

1

2

，0）為焦點的拋物線．
因為

p

2

=

1

2

，所以p=1．即點M的軌跡方程為y²=2x；
（2）設拋物線上的點P（

y2

2

，y），y∈R．則
|PA|2=(

y2

2

-a)2+(y-0)2，整理得：
|PA|2=

y4

4

+(1-a)y2+a2．
令y²=t≥0，有：|PA|2=

t2

4

+(1-a)t+a2，（t≥0）
關于t的二次函數的對稱軸為：t₀=2（a-1）．對對稱軸位置作分類討論如下：
①2（a-1）≤0時，a≤1，即t=1時，|PA|min2=a2，d（a）=|a|；
②2（a-1）＞0時，a＞1，即t=2（a-1）時，|PA|min2=2a-1，d（a）=

2a-1

．
所以d（a）=

|a|，a≤1 2a-1 ，a＞1

．