Question

已知動點M到定直線l：x=-的距離比到定點（，0）的距離多1，
（I）求動點M的軌跡C的方程；
（II）設A（a，0）（a∈R），求曲線C上點P到點A距離的最小值d（a）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由動點M到定直線l：x=-的距離比到定點（，0）的距離多1，得到點M與定點（）的距離等于它到直線x=-的距離，然后直接由拋物線的定義得方程；
（Ⅱ）設拋物線上的點P（），由兩點間的距離公式寫出|PA|²，換元后利用二次函數對稱軸的位置討論得到曲線C上點P到點A距離的最小值d（a）．
解答：解：（1）設動點M的坐標為（x，y），
由已知條件可知，點M與定點（）的距離等于它到直線x=-的距離．
根據拋物線的定義，點M的軌跡是以定點（）為焦點的拋物線．
因為，所以p=1．即點M的軌跡方程為y²=2x；
（2）設拋物線上的點P（），y∈R．則
，整理得：
．
令y²=t≥0，有：，（t≥0）
關于t的二次函數的對稱軸為：t=2（a-1）．對對稱軸位置作分類討論如下：
①2（a-1）≤0時，a≤1，即t=1時，，d（a）=|a|；
②2（a-1）＞0時，a＞1，即t=2（a-1）時，，d（a）=．
所以d（a）=．
點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了兩點間的距離公式，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用二次函數的對稱軸位置討論二次函數最值的求法，是有一定難度題目．