【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）若函數
有三個極值點
，
，
，求實數
的取值范圍，并證明
.
【答案】（1）當
時，
在
單調遞減；當
時，在
單調遞減，在
單調遞增.（2）證明見解析
【解析】
（1）求導，對
分類討論，確定
或
解的區間，即可求出結論；
（2）求
，由
，得出
或
，
有三個極值點，轉化為有兩個異于2的實根.不妨設
，
，根據（1）得，且
，從而
，由零點存在定理可得
，又時，
，求出實數的取值范圍是
.要證
，只需證明
，利用
，
是的兩個實根，可得
，
.令
，則
，
，
，只需證明
，即證
，，令
，，利用求導，求出
單調區間，最值,即可證明結論.
解：（1）
，
當時，
，在單調遞減；
當時，令
，得
，
當
時，；當
時，
.
故在單調遞減，在單調遞增.
（2）由已知得
，
，
令
，得或.
要使函數
有三個極值點，須有三個不相等實數根，
從而有兩個異于2的實根.不妨設，，
由（1）知：，且，從而.
而當時，
，
，
；
由零點存在定理知.
又當時，，所以實數的取值范圍是.
要證，只需證.①
因為，是的兩個實根，且，
所以，從而
，所以，
令，則，，.
要證①式成立，只需證，即證，.
令，，則
，所以
在
遞增，
所以
，所以.命題得證.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為正方形，
底面，
，
為線段
的中點．
（1）若
為線段
上的動點，證明：平面
平面
；
（2）若為線段，
，
上的動點（不含
，
），
，三棱錐
的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心在坐標原點，且經過點
，它的一個焦點與拋物線
的焦點重合.
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率為
的直線過點
，且與拋物線
交于
兩點，設點
，
的面積為
，求的值；
（3）若直線
過點
，且與橢圓交于
兩點，點
關于
軸的對稱點為
，直線
的縱截距為
，證明：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知集合M是具有下列性質的函數
的全體:存在實數對
,使得
對定義域內任意實數x都成立.
（1）判斷函數
,
是否屬于集合
;
（2）若函數
具有反函數
,是否存在相同的實數對,使得與同時屬于集合
若存在,求出相應的
;若不存在,說明理由;
（3）若定義域為
的函數屬于集合,且存在滿足有序實數對
和
;當
時,的值域為
,求當
時函數的值域.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列
的首項為p，公差為
，對于不同的自然數
，直線
與
軸和指數函數
的圖象分別交于點
與
（如圖所示），記的坐標為
，直角梯形
、
的面積分別為
和
，一般地記直角梯形
的面積為
.
（1）求證：數列
是公比絕對值小于1的等比數列；
（2）設的公差
，是否存在這樣的正整數
，構成以
，
，
為邊長的三角形？并請說明理由；
（3）設的公差
為已知常數，是否存在這樣的實數p使得（1）中無窮等比數列各項的和
？并請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】空氣質量指數PM2.5（單位：μg/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：
日均濃度 |
|
|
|
|
|
|
空氣質量級別 | 一級 | 二級 | 三級 | 四級 | 五級 | 六級 |
空氣質量類型 | 優 | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對空氣質量指數PM2.5進行監測，獲得PM2.5日均濃度指數數據如莖葉圖所示：
（Ⅰ）根據你所學的統計知識估計甲、乙兩城市15天內哪個城市空氣質量總體較好？（注：不需說明理由）
（Ⅱ）在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優或良的概率；
（Ⅲ）在乙城市15個監測數據中任取2個，設X為空氣質量類別為優或良的天數，求X的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】裴波那契數列（Fibonacci sequence ）又稱黃金分割數列，因為數學家列昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數列”，在數學上裴波那契數列被以下遞推方法定義：數列
滿足：
，
，現從該數列的前40項中隨機抽取一項，則能被3整除的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
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