Question

【題目】已知集合M是具有下列性質的函數的全體:存在實數對,使得對定義域內任意實數x都成立.

（1）判斷函數,是否屬于集合;

（2）若函數具有反函數,是否存在相同的實數對,使得與同時屬于集合若存在,求出相應的;若不存在,說明理由;

（3）若定義域為的函數屬于集合,且存在滿足有序實數對和;當時,的值域為,求當時函數的值域.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在實數對,使得與同時屬于集合M.見解析（3）

【解析】

（1）根據已知中集合的定義,分別判斷兩個函數是否滿足條件,即可求得答案;

（2）假定,求出相應的值,得到矛盾,即可求得答案;

（3）利用題中的新定義,列出兩個等式恒成立;將x用代替,兩等式結合得到函數值的遞推關系;用不完全歸納的方法求出值域.

（1）當時,

,其值不為常數,

故,

當時,,

當時,,

故存在實數對,使得對定義域內任意實數x都成立,

故;

（2）若函數具有反函數,且,

則,

則,解得:,

此時,不存在反函數,

故不存在實數對,使得與同時屬于集合M.

（3）函數,且存在滿足條件的有序實數對和,

于是,,

用替換中得:,

當時,,,

時,.

又由得:,

故,即,

可得:.

時,,

時,,

……

依此類推可知時,,

故時,,

綜上所述,時,,

時,,

綜上所述,當時函數的值域為.