Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，點E在棱CD上，且CE=

1

3

CD．
（1）求證：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）在棱AA₁上是否存在點P，使DP∥平面B₁AE？若存在，求出線段AP的長；若不存在，請說明理由；
（3）若二面角A-B₁E-A₁的余弦值為

30

6

，求棱AB的長．

Answer 1

分析：（1）利用長方體和正方體的性質、線面垂直的判定定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標系，若DP∥平面AB₁E，設

n

為平面AB₁E的法向量?

DP

•

n

=0，且

DP

?平面AB₁E，求出即可；
（3）利用（1）（2）的結論即可得到此二面角的兩個面的法向量，進而利用法向量的夾角即可得到二面角的余弦值，解出即可．

解答：（1）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵A₁B₁⊥面A₁D₁DA，
∴A₁B₁⊥AD₁．   
在矩形A₁D₁DA中，∵AA₁=AD=2，
∴AD₁⊥A₁D．
又A₁D∩A₁B₁=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁D．
（2）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以D₁為原點建立空間直角坐標系D₁-xyz．
依題意可知，D₁（0，0，0），A₁（2，0，0），D（0，0，2），A（2，0，2），
設AB的長為x，則C₁（0，x，0），B₁（2，x，0），C(0，x，2)，E(0，

2

3

x，2)．
假設在棱AA₁上存在點P，使得DP∥平面B₁AE．
設點P（2，0，y），則

DP

=(2，0，y-2)，

AP

=(0，0，y-2)．
易知

B1E

=(-2，-

1

3

x，2)，

AE

=(-2，

2

3

x，0)．
設平面B₁AE的一個法向量為n=（a，b，c），
則

B1E • n =0 AE • n =0

，即

-2a- 1 3 xb+2c=0 -2a+ 2 3 xb=0

．
令b=3得，a=x，c=

3

2

x，∴

n

=(x，3，

3

2

x)．
∵DP∥平面B₁AE，∴

DP

•

n

=0且DP?平面B₁AE．
得2x+(y-2)•

3

2

x=0，∴y=

2

3

．
∴

AP

=(0，0，-

4

3

)，|

AP

|=

4

3

，
∴AP的長為

4

3

．
（3）∵CD∥A₁B₁，且點E∈CD，
∴平面A₁B₁E、平面A₁B₁D與面A₁B₁CD是同一個平面．
由（1）可知，AD₁⊥面A₁B₁D，
∴

D1A

=(2，0，2)是平面A₁B₁E的一個法向量．  
由（2）可知，平面B₁AE的一個法向量為n=(x，3，

3

2

x)．
∵二面角A-B₁E-A₁的余弦值為

30

6

，
∴cosθ=

30

6

=

| D1A • n |

| D1A | | n |

=

|2x+3x|

2 2 • x2+9+( 3 2 x)2

，解得x=3

2

．
故AB的長為3

2

．

點評：熟練掌握長方體和正方體的性質、線面垂直的判定定理、通過建立空間直角坐標系的方法求出平面的法向量并利用法向量及其數量積即可求出線面角、二面角是解題的關鍵．