Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側棱BB₁的中點．
（I）求證：直線AE⊥平面A₁D₁E；
（II）求三棱錐A-A₁D₁E的體積．

Answer 1

分析：（I）根據已知中長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側棱BB₁的中點，結合長方體的幾何特征，我們可得AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，結合線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面A₁D₁E；
（II）由（I）的結論，我們可得AE即為三棱錐A-A₁D₁E的高，根據已知求出三棱錐的底面積，代入棱錐體積公式，即可求出三棱錐A-A₁D₁E的體積．

解答：解：（I）證明：∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側棱BB₁的中點
∴AE=A₁E=

2

，AA₁=2，
∴AA₁²=AE²+A₁E²
∴AE⊥A₁E
又∵D₁A₁⊥平面A₁EA，AE?平面A₁EA
∴AE⊥A₁D₁，又D₁A₁∩A₁E=A₁，
∴AE⊥平面A₁D₁E；
（II）由（I）中AE⊥平面A₁D₁E，
∴VA-A1D1E=

1

3

•S△A1D1E•AE=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

2

=

1

3

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，（1）中的關鍵是根據正方體的幾何特征及勾股定理得到AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，（2）的關鍵是證得AE即為三棱錐A-A₁D₁E的高．