Question

下面有五個命題
①函數f（x）=sin⁴x-cos⁴x圖象的一個對稱中心是(-

π

4

，0)；
②y=

x+3

x-1

的圖象關于點（-1，1）對稱，
③定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且在[-6，-4]上是增函數，在銳角△ABC中，令m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），則m和n的大小關系為m＞n
④設f（x）是連續的偶函數，且在（0，+∞）是單調函數，則方程f(x)=f(

x+3

x+4

)所有根之和為8
⑤不等式sinx＞

4x2

π2

對任意x∈(0，

π

2

)恒成立．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題

分析：①化簡函數f（x），判斷f（x）圖象的一個對稱中心是(-

π

4

，0)即可；
②求出函數y的圖象關于某點對稱的點的坐標；
③根據題意得出f（x）的周期性于單調性，再得出sinA+sinB＞cosA+cosC，利用f（x）的單調性判斷m、n的大小；
④利用f（x）的奇偶性與單調性，結合題意求出f（x）=f（

x+3

x+4

）時，所有x的和是多少；
⑤設f（x）=sinx-

4x2

π2

，利用導數判斷f（x）在（0，

π

2

）上的增減性與極值，從而判斷sinx＞

4x2

π2

是否恒成立．

解答： 解：對于①，∵函數f（x）=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x，
當x=-

π

4

時，f（x）=-cos[2×（-

π

4

）]=0，
∴f（x）圖象的一個對稱中心是(-

π

4

，0)，①正確；
對于②，∵y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，∴y的圖象關于點（1，1）對稱，∴②錯誤；
對于③，∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為4的函數；
又∵f（x）在[-6，-4]上是增函數，∴f（x）在[-2，0]上也是增函數；
又f（x）是定義在R上的偶函數，∴f（x）在[0，2]上是減函數；
在銳角△ABC中，A+C＞

π

2

，∴A＞

π

2

-C，
∵y=sinx在區間（0，

π

2

）上是增函數，

π

2

＞A＞

π

2

-C＞0，
∴sinA＞sin（

π

2

-C）=cosC，即銳角三角形的兩個內角A、C是滿足sinA＞cosC，
同理，sinB＞cosA，
∴sinA+sinB＞cosA+cosC，且（sinA+sinB）∈（0，2），cosA+cosC∈（0，2），
∵m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），∴m＜n，③錯誤；
對于④，∵f（x）是連續的偶函數，且在（0，+∞）是單調函數，
∴當f（x）=f（

x+3

x+4

）時，有x=

x+3

x+4

或-x=

x+3

x+4

，
整理得x²+3x-3=0或x²+5x+3=0，
∴x₁+x₂=-3或x₃+x₄=-5；
∴滿足f（x）=f（

x+3

x+4

）的所有x的和為（-3）+（-5）=-8，∴④錯誤；
對于⑤，設f（x）=sinx-

4x2

π2

，∴f′（x）=cosx-

8

π2

x，
令f′（x）=0，得f（x）在（0，

π

2

）上恒有f（x）≥min{f（0），f（

π

2

）}=0，
∴sinx＞

4x2

π2

對任意x∈(0，

π

2

)恒成立，∴⑤正確．
綜上，正確的命題是①⑤．
故答案為：①⑤．

點評：本題通過命題真假的判斷，考查了函數的單調性與奇偶性、周期性的應用問題，也考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是難題．