Question

【題目】已知函數(shù)（， ），（），且在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅰ）求， 的值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)（）為兩曲線（），的交點(diǎn)，且兩曲線在交點(diǎn)處的切線分別為， .若取，試判斷當(dāng)直線， 與軸圍成等腰三角形時(shí)值的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）或.（3）， 能與軸圍成等腰三角形時(shí)， 值的個(gè)數(shù)有2個(gè).

【解析】試題分析：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)與切線的關(guān)系可得， .

(2)構(gòu)造函數(shù)；結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)分類討論可得的取值范圍是或.

(3) 設(shè)兩切線， 的傾斜角分別為， ，分類討論可得， 能與軸圍成等腰三角形時(shí)， 值的個(gè)數(shù)有2個(gè).

試題解析：

解：（Ⅰ） ， ，又， ， .

（Ⅱ）；

由得， 或.

，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).

若，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)，

若，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)，

綜上， 的取值范圍是或.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)兩切線， 的傾斜角分別為， ，

則， ， ， ， 均為銳角，

當(dāng)，即時(shí)，若直線， 能與軸圍成等腰三角形，則；

當(dāng)，即時(shí)，若直線， 能與軸圍成等腰三角形，則.

由得， ，得，

即，此方程有唯一解 ， ， 能與軸圍成一個(gè)等腰三角形.

由得， ，得，即，

設(shè)， ，

當(dāng)時(shí)， ， 在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞增，

由于，且，所以，則，

即方程在有唯一解，直線， 能與軸圍成一個(gè)等腰三角形.

因此，當(dāng)時(shí)，有兩處符合題意，所以， 能與軸圍成等腰三角形時(shí)， 值的個(gè)數(shù)有2個(gè).