Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F是PC中點，G為AC上一點．
（Ⅰ）求證：BD⊥FG；
（Ⅱ）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由；
（Ⅲ）當二面角B-PC-D的大小為

2π

3

時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證：BD⊥FG，先證BD⊥平面PAC即可．
（Ⅱ）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，FG∥平面PBD內的一條直線即可．
（Ⅲ）當二面角B-PC-D的大小為

2π

3

時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．
只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出結果．
這三個問題可以利用空間直角坐標系，解答（Ⅰ）求數量積即可．
（Ⅱ）設才點的坐標，向量共線即可解答．
（Ⅲ）利用向量數量積求解法向量，然后轉化求出PC與底面ABCD所成角的正切值．

解答：證明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD，AC交于點E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG（5分）
解（Ⅱ）：當G為EC中點，即AG=

3

4

AC時，FG∥平面PBD，（7分）
理由如下：
連接PE，由F為PC中點，G為EC中點，知FG∥PE，
而FG?平面PBD，PE?平面PBD，
故FG∥平面PBD．（9分）
解（Ⅲ）：作BH⊥PC于H，連接DH，
∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，
∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，
∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD就是二面角B-PC-D的平面角，（11分）
即∠BHD=

2π

3

，
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角（12分）
連接EH，則EH⊥BD，∠BHE=

π

3

，EH⊥PC，
∴tan∠BHE=

BE

EH

=

3

，而BE=EC，
∴

EC

EH

=

3

，∴sin∠PCA=

EH

EC

=

3

3

，∴tan∠PCA=

2

2

，
∴PC與底面ABCD所成角的正切值是

2

2

（14分）
或用向量方法：
解：以A為原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，設正方形ABCD的邊長為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），
E（

1

2

，

1

2

，0），F（

1

2

，

1

2

，

a

2

），G（m，m，0）（0＜m＜

2

）（2分）
（Ⅰ）

BD

=（-1，1，0），

FG

=（m-

1

2

，m-

1

2

，-

a

2

），

BD

×

FG

=-m+

1

2

+m-

1

2

+0=0，
∴BD⊥FG（5分）
（Ⅱ）要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而

EP

=（

1

2

，

1

2

，-a），由

FG

=

1

2

EP

可得

m- 1 2 = 1 2 λ - a 2 =-aλ

，
解得l=1，m=

3

4

，（7分）
∴G（

3

4

，

3

4

，0），∴

AG

=

3

4

AC

，
故當AG=

3

4

AC時，FG∥平面PBD（9分）

（Ⅲ）設平面PBC的一個法向量為

u

=（x，y，z），
則

u • PC =0 u • BC =0

，而

PC

=(1，1，-a)，

BC

=(0，1，0)，
∴

x+y-az=0 y=0

，取z=1，得

u

=（a，0，1），同理可得平面PDC的一個法向量為

v

=（0，a，1），
設

u

，

v

所成的角為β，則|cosβ|=|cos

2π

3

|=

1

2

，即

| u • v |

| u || v |

=

1

2

，∴

1

a2+1 • a2+1

=

1

2

，∴a=1（12分）
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=

1

2

=

2

2

（14分）

點評：本題考查直線與平面、平面與平面的性質，空間直線的位置關系，空間直角坐標系，空間想象能力，邏輯思維能力，是難度較大題目．