Question

(本題滿分12分)
如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點。

（1）求證：CD⊥AE；
（2）求證：PD⊥面ABE。

Answer 1

（1）要證明線線垂直，則只要根據線面垂直的性質定理可以證明。
（2）對于線面垂直的證明，一般先證明線線垂直，然后結合線面垂直的判定定理得到，關鍵是證明AE⊥PD和BA⊥PD。

試題分析：（I）證明：∵PA⊥底面ABCD
∴CD⊥PA
又CD⊥AC，PA∩AC=A，
故CD⊥面PAC 
AE面PAC，故CD⊥AE 
（II）證明：PA=AB=BC，∠ABC=60°，
故PA=ACE是PC的中點，故AE⊥PC
由（I）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，
故AE⊥PD
易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE 
點評：本試題考查了空間中線線與線面的位置關系的運用，關鍵是熟練的結合線線與線面垂直的判定定理和性質定理來得到證明，屬于基礎題。