Question

15、定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0，
（1）求證：f（0）=1
（2）求證：y=f（x）是偶函數(shù)．

Answer 1

分析：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用類問題．在解答時：
（1）在抽象表達(dá)式中令x=y=0代入表達(dá)式即可獲得問題的解答；
（2）在抽象表達(dá)式中令x=0，y不動，結(jié)合（1）的結(jié)論即可獲得f（-y）與f（y）之間的關(guān)系，從而獲得函數(shù)的奇偶性．

解答：解：（1）令x=y=0則有f（0）+f（0）=2f（0）f（0）2f（0）=f（0）f（0），
因?yàn)閒（0）≠0，
所以f（0）=1．
（2）令x=0
則有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），
∴f（-y）=f（y），
所以y=f（x）是偶函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了抽象表達(dá)式的應(yīng)用能力、特值的問題處理技巧以及必要的計算能力．同時函數(shù)的奇偶性定義也在題目中得到了體現(xiàn)．值得同學(xué)們體會和反思．