Question

（本題滿分14分）
如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點．一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點．
（1）若，求的值；（5分）
（2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；（5分）
（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由．（4分）

Answer 1

（1）
（2）的橫坐標為，即點是線段的中點
（3）略

解：（1）設直線的方程為，
將該方程代入得．
令，，則．
因為，解得，
或（舍去）．故．
（2）由題意知，直線的斜率為．
又的導數為，所以點處切線的斜率為，
因此，為該拋物線的切線．
（3）（2）的逆命題成立，證明如下：
設．
若為該拋物線的切線，則，
又直線的斜率為，所以，
得，因，有．
故點的橫坐標為，即點是線段的中點．