Question

（2013•許昌三模）有下列四個命題：
①函數y=x+

1

4x

（x≠0）的值域是[1，+∞）；
②平面內的動點P到點F（-2，3）和到直線l：2x+y+1=0的距離相等，則P的軌跡是拋物線；
③直線AB與平面α相交于點B，且AB與α內相交于點C的三條互不重合的直線CB、CE、CF所成的角相等，則AB⊥α；
④若f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），則f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]．
其中正確的命題的編號是

③④

．

Answer 1

分析：①利用基本不等式證明．②利用拋物線的定義判斷．③利用線面垂直的判定定理或性質定理判斷．④利用凸凹函數的性質判斷．

解答：解：①當x＞0時，y=x+

1

4x

≥2

x? 1 4x

=1，
當x＜0時，y=x+

1

4x

=-[(-x)+

1

-4x

]≤-2

(-x)? 1 -4x

=-1，
所以函數的值域是[1，+∞）∪（-∞，-1]，所以①錯誤．
②因為點F（-2，3）在直線2x+y+1=0，所以點P的軌跡不是拋物線，是過點F且垂直于直線l的直線．所以②錯誤．
③若AB不垂直α，當AB與直線CB、CE、CF所成的角相等，則必有CB∥CE/CF，與直線CB、CE、CF互不重合，矛盾，
所以假設不成立，所以必有AB⊥α．所以③正確．
④因為滿足f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]的函數為凹函數，所以二次函數是凹函數，所以④正確．
故正確的命題的編號是③④．
故答案為：③④．

點評：本題主要考查了命題的真假判斷，綜合性較強．要求對相關知識要熟練理解和掌握．