Question

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD﹣A1C1D1 ， 且這個幾何體的體積為10． （Ⅰ）求棱AA1的長；
（Ⅱ）若A1C1的中點為O1 ， 求異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設AA1=h， 由題設 = ﹣ =10，
∴
即 ，解得h=3．
故A1A的長為3．
（Ⅱ）∵在長方體中，A1D1∥BC，
∴∠O1BC為異面直線BO1與A1D1所成的角（或其補角）．
在△O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，
∴AA1=BC1= ， = ，
∴ ，
則cos∠O1BC= = = ．
∴異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）設AA1=h，由題設 = ﹣ ，可求出棱長．（Ⅱ）因為在長方體中A1D1∥BC，所以∠O1BC即為異面直線BO1與A1D1所成的角（或其補角）那么借助于三角形求解得到結論．
【考點精析】利用棱柱的結構特征和異面直線及其所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．