Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的對稱軸上的定點M（m，0）（m＞0），作直線AB與拋物線相交于A，B兩點．
（1）試證明A，B兩點的縱坐標之積為定值；
（2）若點N是定直線l：x=-m上的任一點，試探索三條直線AN，MN，BN的斜率之間的關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，與y²=2px聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明；
（2）三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列．設(shè)點N（-m，n），則直線AN的斜率為kAN=

y1-n

x1+m

，直線BN的斜率為kBN=

y2-n

x2+m

，再利用（1）的結(jié)論即可證明．

解答：（1）證明：．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有y₁•y₂=-2pm，下證之：
設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，與y²=2px聯(lián)立

x=ty+m y2=2px

消去x得y²-2pty-2pm=0，
由韋達定理得y₁•y₂=-2pm，
（2）解：三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列，下證之：
設(shè)點N（-m，n），則直線AN的斜率為kAN=

y1-n

x1+m

，
直線BN的斜率為kBN=

y2-n

x2+m

，
∴kAN+kBN=

y1-n

y12 2p +m

+

y2-n

y22 2p +m

=

2p(y1-n)

y12+2pm

+

2p(y2-n)

y22+2pm

=2p(

y1-n

y12-y1y2

+

y2-n

y22-y1y2

)=2p•

y2(y1-n)-y1(y2-n)

y1y2(y1-y2)

=2p•

n(y1-y2)

y 1y2(y1-y2)

=2p•

n

y1y2

=2p•

n

-2pm

=-

n

m

又∵直線MN的斜率為kMN=

n-0

-m-m

=-

n

2m

，
∴k_AN+k_BN=2k_MN
即直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線的斜率計算公式、等差數(shù)列的定義等是解題的關(guān)鍵．