Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）函數與函數的圖像總有兩個交點，設這兩個交點的橫坐標分別為，.

（ⅰ）求的取值范圍；

（ⅱ）求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）見解析

【解析】

（1）求出的導數，求得切線的斜率，由得切點由點斜式方程可得切線的方程；

（2）（ⅰ）函數與函數的圖像總有兩個交點轉化為函數有兩個零點的問題，進而研究的導數及圖像即可.

（ⅱ）先由 （ⅰ） 得的單調性，分析出、不可能在同一單調區(qū)間內；設，將導到上，利用函數在上單調性，欲證,只需證明，結合，只需證明.再構造，結合單調性即可證明結論 ．

（1）解：由已知得，

∴∴，又∵，

曲線在點處的切線方程為：.

（2）（ⅰ）令 ，

∴，

由得，；由得，易知，為極大值點，

又時，當時，

即函數在時有負值存在，在時也有負值存在.

由題意，只需滿足，

∴的取值范圍是：

（ⅱ）由題意知，，為函數 的兩個零點，由（ⅰ）知，不妨設，則，且函數在上單調遞增，欲證，

只需證明，而，

所以，只需證明.

令，則

∴.

∵，∴，即

所以，，即在上為增函數，

所以，，∴成立.

所以，.