【題目】已知函數
.
（1）當
時，
恒成立，求實數
的取值范圍；
（2）證明：當
時，函數
有最小值，設
最小值為
，求函數的值域.
【答案】（1）
；（2）
【解析】分析：（1）原問題等價于
對
恒成立，設
，求其最小值即可；
（2）求導得
，記
，
，由（1）知
在區間
內單調遞增，從而得到當
時，函數
有最小值；
，又因為
．所以
，從而易得函數
的值域.
詳解：（1）因為
對恒成立，
等價于對恒成立，設
得
，故
在上單調遞增，
當
時，由上知
，所以
,即
，
所以實數
的取值范圍為；
（2）對求導得
，
記，，
由（1）知在區間內單調遞增，又
，
所以存在唯一正實數
，使得
，
當
時，
，
，函數
在區間
單調遞減；
時，
，
，函數在區間
單調遞增；
所以
在內有最小值
，
由題設即．
又因為．所以．
根據（1）知， 在內單調遞增，
，
所以
．令
，則
，函數
在區間
內單調遞增，
所以
，
即函數的值域為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為拋物線
：
的焦點，過的動直線交拋物線于
，
兩點．當直線與
軸垂直時，
．
（1）求拋物線的方程；
（2）設直線
的斜率為1且與拋物線的準線
相交于點
，拋物線上存在點
使得直線
，
，
的斜率成等差數列，求點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知函數
.(
是常數，且（
)
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）當
在
處取得極值時，若關于
的方程
在
上恰有兩個不相等的實數根，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）求證:當
時
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“中國式過馬路”存在很大的交通安全隱患．某調查機構為了解路人對“中國式過馬路”的態度是否與性別有關，從馬路旁隨機抽取30名路人進行了問卷調查，得到了如下列聯表：
項目 | 男性 | 女性 | 總計 |
反感 | 10 | ||
不反感 | 8 | ||
總計 | 30 |
已知在這30人中隨機抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是
.
(1)請將上面的列聯表補充完整(直接寫結果，不需要寫求解過程)，并據此資料分析反感“中國式過馬路”與性別是否有關？
(2)若從這30人中的女性路人中隨機抽取2人參加一活動，記反感“中國式過馬路”的人數為X，求X的分布列和數學期望．
附：K2＝
.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知傾斜角為
的直線經過拋物線
：
的焦點
，與拋物線相交于
、
兩點，且
.
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）過點
的兩條直線
、
分別交拋物線于點
、
和
、，線段
和
的中點分別為
、
.如果直線與的斜率之積等于1，求證：直線
經過一定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）＝|x﹣a|+|x
|（a＞0）．
（1）若不等式f（x）﹣| x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實數a的值；
（2）證明：f（x）
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一項研究中，為盡快攻克某一課題，某生物研究所分別設立了甲、乙兩個研究小組同時進行對比試驗，現隨機在這兩個小組各抽取40個數據作為樣本，并規定試驗數據落在[495，510）之內的數據作為理想數據，否則為不理想數據．試驗情況如表所示
（1）由以上統計數據完成下面2×2列聯表；
（2）判斷是否有90%的把握認為抽取的數據為理想數據與對兩個研究小組的選擇有關；說明你的理由；（下面的臨界值表供參考）
（參考公式：
其中n＝a+b+c+d）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列
滿足：對于任意
均為數列中的項，則稱數列為“
數列”．
（1）若數列的前
項和
，求證：數列為“ 數列”；
（2）若公差為
的等差數列為“ 數列”，求的取值范圍；
（3）若數列為“ 數列”，
，且對于任意
，均有
，求數列的通項公式．
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