Question

某種商品原來每件售價為25元，年銷售量8萬件．
（Ⅰ）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收人不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（Ⅱ）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入

1

6

（x²-600）萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入

1

5

x萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設每件定價為x元，則提高價格后的銷售量為8-

x-25

1

×0.2，根據銷售的總收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價；
（Ⅱ）依題意，x＞25時，不等式ax≥25×8+50+

1

6

(x2-600)+

1

5

x有解，等價于x＞25時，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解，利用基本不等式，我們可以求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設每件定價為x元，則提高價格后的銷售量為8-

x-25

1

×0.2，根據銷售的總收人不低于原收入，有(8-

x-25

1

×0.2)x≥25×8，（3分）
整理得x²-65x+1000≤0，
解得25≤x≤40． （5分）
∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元． （6分）
（Ⅱ）依題意，x＞25時，
不等式ax≥25×8+50+

1

6

(x2-600)+

1

5

x有解，（8分）
等價于x＞25時，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解，（9分）
∵

150

x

+

1

6

x≥2

150 x • 1 6 x

=10（當且僅當x=30時，等號成立），（11分）
∴a≥10.2．此時該商品的每件定價為30元（12分）
∴當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元． （13分）

點評：解決實際問題的關鍵是讀懂題意，建立函數模型，同時應注意變量的取值應使實際問題有意義．