Question

設函數f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x） （0＜x＜1），求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數的最值及其幾何意義,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：求函數的導數，利用導數研究函數的單調性即可求出函數的最值．

解答： 解：函數的f（x）的導數f′（x）=log₂x+

1

ln2

-log₂（1-x）-

1

ln2

=log₂x-log₂（1-x）
由f′（x）＞0得log₂x-log₂（1-x）＞0，即log₂x＞log₂（1-x），即x＞1-x，
解得

1

2

＜x＜1，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0得log₂x-log₂（1-x）＜0，即log₂x＜log₂（1-x），即x＜1-x，
解得0＜x＜

1

2

，此時函數單調遞減，
故當x=

1

2

時，函數f（x）取得極小值同時也是最小值f（

1

2

）=

1

2

log₂

1

2

+（1-

1

2

）log₂（1-

1

2

）=-

1

2

-

1

2

=-1．

點評：本題主要考查函數最值的求解，利用復合函數導數的運算法則，求函數的導數，利用導數研究函數的最值是解決本題的關鍵．