Question

在單調遞減的等比數列{a_n}中，a₁=

1

16

，若

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求數列{

1

bn

}的前項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）設出等比數列的公比，由

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中項列式求得等比數列的公比q，則等比數列的通項公式可求；
（Ⅱ）利用對數的運算性質求出b_n，取倒數后由裂項相消法求得數列{

1

bn

}的前項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設單調遞減的等比數列{a_n}的公比為q（q＜1），
由a₁=

1

16

，且

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中項，得

5

2

×

1

16

q=

1

16

+

1

16

q2，
解得：q=2（舍）或q=

1

2

．
∴an=

1

16

×(

1

2

)n-1=

1

2n+3

；
（Ⅱ）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=log2(a1a2…an)=log2

1

24+5+…+(n+3)

=log22-

n(n+7)

2

=-

n(n+7)

2

．
∴

1

bn

=-

2

n(n+7)

=-

2

7

(

1

n

-

1

n+7

)．
則T_n=-

2

7

(1-

1

8

+

1

2

-

1

9

+…+

1

n

-

1

n+7

)=-

2

7

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

-

1

n+1

-

1

n+2

-…-

1

n+7

)
=-

363

40

+

2

7

(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+7

)．

點評：本題考查了等比數列的通項公式，考查了等差數列的性質，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，是中檔題．