Question

【題目】設是數列的前項和， .

（1）求證：數列是等差數列，并求的通項；

（2）設，求數列的前項和.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析， ；（2）.

【解析】試題分析：當數列提供與、之間的遞推關系時，要數列是等差數列，只需利用，轉化為、之間的關系，證明某數列是等差數列，就是證明第n+1項與第n項的比是一個常數，這個分析給證明提供一個暗示，有了證明的目標，從遞推關系式向著這個目標進行等價變形，就可得出所要證明的式子，達到證明的目的；已知數列的前n項和，求通項公式分兩步，第一步n=1 時，求出首項，第二步，當時利用前n項和與前n-1項和作差求出第n項，若首項滿足后者，則可書寫統一的通項公式，若首項不滿足，則通項公式要寫成分段函數形式，有關數列求和問題，主要方法有倒序相加法、錯位相減法、分組求和法、公式法等，要根據數列通項的形式特點采用相應的方法求和.

試題解析：

（1），∴，

即， ，

∴數列是等差數列．

由上知數列是以2為公差的等差數列，首項為，

∴，∴．

∴．

（或由得）,

由題知， ,

綜上， .

（2）由（1）知 ，

∴，

∴．