Question

【題目】已知函數f（x）= x3﹣ ax2 ， a∈R，
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（2）設函數g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，討論g（x）的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當a=2時，f（x）= x3﹣x2，

∴f′（x）=x2﹣2x，

∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）= ×27﹣9=0，

∴曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0

（2）

函數g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx= x3﹣ ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，

∴g′（x）=x2﹣ax+cosx﹣（x﹣a）sinx﹣cosx=x2﹣ax+（x﹣a）sinx=（x﹣a）（x+sinx），

令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，

當x＜0時，x+sinx＜0，當x≥0，x+sinx≥0，

①若a＞0時，當x＜0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，

當x＞a時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上單調遞增，

當0＜x＜a時，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上單調遞減，

∴當x=a時，函數有極小值，極小值為g（a）=﹣ a3﹣sina

當x=0時，有極大值，極大值為g（0）=﹣a，

②若a＜0時，當x＞0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，

當x＜a時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上單調遞增，

當a＜x＜0時，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上單調遞減，

∴當x=a時，函數有極大值，極大值為g（a）=﹣ a3﹣sina

當x=0時，有極小值，極小值為g（0）=﹣a

③當a=0時，g′（x）=x（x+sinx），

當x＞0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

當x＜0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，

∴g（x）在R上單調遞增，無極值．

【解析】（1）根據導數的幾何意義即可求出曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程，（2）先求導，再分類討論即可求出函數的單調區間和極值
【考點精析】通過靈活運用基本求導法則和利用導數研究函數的單調性，掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．