Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A、B，且中點(diǎn)E在直線上，線段的垂直平分線交y軸于點(diǎn)，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由離心率及橢圓所過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)及之間的關(guān)系求出橢圓的方程；

（2）由題意設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和，進(jìn)而求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直線求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出的中垂線的方程.令求出P的縱坐標(biāo)，即m的表達(dá)式，分斜率大于0和小于0兩種情況用均值不等式求出的取值范圍.

解：（1）由題意知：，，，解得：，，

所以橢圓的方程為：；

（2）

直線的斜率必存在，

若，則為軸所在的直線，此時(shí).

若， 設(shè)直線l的方程為：，設(shè)，，

聯(lián)立直線與橢圓的方程整理得：，，

所以中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，

代入直線可得E的縱坐標(biāo)，

所以的垂直平分線方程為：，與聯(lián)立可得，所以，

當(dāng)時(shí)，，，，故.

所以的取值范圍為.