【題目】已知函數
.
（1）當
時，求
的最大值；
（2）若
只有一個極值點
.
（i）求實數
的取值范圍；
（ii）證明：
.
【答案】(1) 最大值為-1. (2) （i）
（ii）證明見解析
【解析】
（1）當
時，
，令
，利用導數求得函數的單調性，即可求得函數的最大值；
（2）由
，得到
，分和
討論，求得函數的單調性與最值，結合函數的性質，即可得到答案.
（1）當時，，
.
令，則
，
∴
在
上單調遞增，在
上單調遞減
∴
，故
的最大值為-1.
（2），.
①當時，
在
恒成立，則
在單調遞增.
而
，當
時，
，
則
，且
，∴
使得
.
∴當
時，
，則
單調遞減；
當時，，則單調遞增，∴只有唯一極值點
.
②當時，
當
時，
，則單調遞增；
當
時，，則單調遞減，∴
.
（i）當
即
時，
在恒成立，則在單調遞減，無極值點，舍去.
（ii）當
即
時，
.
又
，且
，∴
使得
.
由（1）知當時，
，則
∴
則
，且
，∴
使得
.
∴當
時，，則單調遞減；
當
時，
，則單調遞增；
當
時，，則單調遞減.
∴有兩個極值點
，
，舍去.
綜上，只有一個極值點時，
∵
，∴
，
∴
，.
令
，∴
，則
在
單調遞減
∴當
時，
，∴
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】汽車是碳排放量比較大的行業之一，歐盟規定，從2015年開始，將對
排放量超過130g/km的
型新車進行懲罰（視為排放量超標），某檢測單位對甲、乙兩類型品牌抽取5輛進行排放量檢測，記錄如下（單位：g/km）：
甲 | 80 | 110 | 120 | 140 | 150 |
乙 | 100 | 120 | x | y | 160 |
經測算發現，乙品牌車排放量的平均值為
.
（Ⅰ）從被檢測的5輛甲類品牌中任取2輛，則至少有一輛排放量超標的概率是多少?
（Ⅱ）若乙類品牌的車比甲類品牌的的排放量的穩定性要好，求x的范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是一個三棱錐，
是圓的直徑，
是圓上的點，
垂直圓所在的平面，
，
分別是棱
，的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）若二面角
是
，
，求
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，點
滿足方程
.
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）作曲線C關于
軸對稱的曲線，記為
，在曲線C上任取一點
，過點P作曲線C的切線l，若切線l與曲線交于A，B兩點，過點A，B分別作曲線的切線
，證明的交點必在曲線C上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市一中學高三年級統計學生的最近20次數學周測成績（滿分150分），現有甲乙兩位同學的20次成績如莖葉圖所示：
（1）根據莖葉圖求甲乙兩位同學成績的中位數，并據此判斷甲乙兩位同學的成績誰更好？
（2）將同學乙的成績的頻率分布直方圖補充完整；
（3）現從甲乙兩位同學的不低于140分的成績中任意選出2個成績，設選出的2個成績中含甲的成績的個數為
，求的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
（
為參數），將曲線
上的所有點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的
后得到曲線
；以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線和直線的直角坐標方程；
（2）已知
，設直線與曲線交于不同的
、
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝________.
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