Question

以下是面點師一個工作環節的數學模型：如圖，在數軸上截取與閉區間[0，1]對應的線段，對折后（坐標1所對應的點與原點重合）再均勻地拉成1個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標

1

4

、

3

4

變成

1

2

，原來的坐標

1

2

變成1，等等）．那么原閉區間[0，1]上（除兩個端點外）的點，在第二次操作完成后，恰好被拉到與1重合的點所對應的坐標是

 

；原閉區間[0，1]上（除兩個端點外）的點，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與1重合的點所對應的坐標為

 

．

Answer 1

分析：根據題意，可知下一次的操作把上一次的對應點正好擴大了2倍．因為第一次操作后，原線段AB上的

1

4

，

3

4

均變成

1

2

，則第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數是

1

4

和

3

4

，則它們的和可求．根據題意，將恰好被拉到與1重合的點所對應的坐標列出數據，找出規律，列出通式即可．

解答：解：∵第一次操作后，原線段AB上的

1

4

，

3

4

，均變成

1

2

，
∴對應點擴大了2倍，
則第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數是

1

4

和

3

4

，
根據題意，得

由上圖表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數的通式為為

1

2n

，

2n-1

2n

．
所以恰好被拉到與1重合的點所對應的坐標為

1

2

，

1

22

，

3

22

，…

1

2n

，

2n-1

2n

．
故答案為：

1

4

和

3

4

；

1

2

，

1

22

，

3

22

，…

1

2n

，

2n-1

2n

．

點評：此題的難點是理解題意，能夠發現對應點之間的變化規律：下一次的操作把上一次的對應點正好擴大了2倍．解答本題的難點是根據數據列出通式，方便比較數據之間的聯系，通過列表格的形式，可以直觀一些．