Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動，
（1）問AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．
（2）在（1）的條件下，求直線AB與平面CD₁E夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通過建立空間直角坐標系，設出點E的坐標，分別表示出平面AECD、D₁EC的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角即可得出；
（2）利用平面D₁EC的法向量與斜向量

AE

所成的角即可求出．

解答：解：（1）以點D為坐標原點，分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標，設AE=x．
則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，a，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．
∴

CE

=(1，a-2，0)，

D1C

=(0，2，-1)，

DD1

=(0，0，1)．
設平面D₁EC的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • D1C =0 n • CE =0

，化為

2y-z=0 x+(a-2)y=0

，
令y=1，則z=2，x=2-a．
∴

n

=(2-a，1，2)．
∵DD₁⊥平面ABCD，∴可取

DD1

作為平面ABCD的法向量．
由題意可得cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n | | DD1 |

=

2

2

，∴

2

(2-a)2+1+22

=

2

2

，解得a=2±

3

．
其中2+

3

不符合題意，應舍去，∴a=2-

3

．
∴AE=2-

3

．
（2）由（1）可知：E(1，2-

3

，0)，∴

AE

=(0，2-

3

，0)，
設直線AE與平面CD₁E夾角為θ，則sinθ=|cos＜

n

，

AE

＞|=

| n • AE |

| n | | AE |

=

2- 3

( 3 )2+1+22 (2- 3 )2

=

2

4

．
∴cosθ=

14

4

．

點評：熟練掌握通過結論空間直角坐標系、利用平面的法向量的夾角求二面角及平面的法向量與斜向量所成的角求線面角是解題的關鍵．