Question

【題目】某同學在研究下學習中，關于三角形與三角函數知識的應用（約定三內角，，的對邊分別為，，）得出如下一些結論：

（1）若是鈍角三角形，則；

（2）若是銳角三角形，則；

（3）在三角形中，若，則；

（4）在中，若，，則.其中錯誤命題的個數是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：由題意結合三角函數的性質逐一分析所給命題的真假即可.

詳解：逐一考查所給命題的真假：

(1)∵tanA+tanB=tan(A+B)(1tanAtanB)，

∴tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC，

∴△ABC是鈍角三角形，可得：tanAtanBtanC<0，故錯誤；

(2)∵△ABC為銳角三角形，

∴A+B>90°,B>90°A，

∴cosB<sinA，sinB>cosA，

∴cosBsinA<0，sinBcosA>0，

∴cosBsinA<sinBcosA，可得cosA+cosB<sinA+sinB，故錯誤；

(3)當B=時，tanB不存在，故錯誤；

(4)由tanC=得到0<C<90°,且tan30°=1=tan45°，

因為正切函數在(0,90°)為增函數,所以得到30°<C<45°；

由sinB=可得到0<B<90°或90°<B<180°，

在0<B<90°時,sin30°=,因為正弦函數在(0,90°)為增函數,得到0<B<30°；

在90°<B<180°時,sin150°=,但是正弦函數在90°<B<180°為減函數,得到B>150°,則B+C>180°，矛盾，不成立。

所以0<B<30°.由B和C的取值得到A為鈍角，

所以A>C>B，故正確；

綜上可得，錯誤命題的個數是3.

本題選擇D選項.