Question

已知空間四邊形ABCD中，E、H分別為AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別為BC、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）若平行四邊形EFGH為菱形，判斷線段AC與線段BD的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)空間直線平行的性質(zhì)即可證明四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）根據(jù)平行四邊形EFGH為菱形，即可判斷線段AC與線段BD的大小關(guān)系．

解答：解：（1）∵E、H分別為AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別為BC、CD的中點(diǎn)．
∴EH∥BD，且EH=

1

2

BD，
FG∥BD，且FG=

1

2

BD，
即EH∥FG，且EH=FG，
即四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）若平行四邊形EFGH為菱形，
則EH=EF，
∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，且EF=

1

2

AC，
又FG=

1

2

BD，
∴AC=BD．

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線的位置關(guān)系的判斷，利用中位線的性質(zhì)是解決本題的根據(jù)，要求熟練掌握直線平行的平行公理的應(yīng)用．