Question

【題目】已知函數的定義域為，若在上為增函數，則稱為“一階比增函數”；若在上為增函數，則稱為“二階比增函數”.我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為，所有“二階比增函數”組成的集合記為.

(Ⅰ)已知函數，若且，求實數的取值范圍；

(Ⅱ)已知，且的部分函數值由下表給出，

求證：；

(Ⅲ)定義集合

請問：是否存在常數，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（I）(Ⅱ)見解答(Ⅲ).

【解析】

試題（I）理解且的意義,代入后利用函數的性質求解; (Ⅱ)通過表格得到，再運用為增函數建立不等式，導出，運用即可. (Ⅲ)判斷即運用反證法證明,如果使得則利用即為增函數一定可以找到一個，使得，對成立;同樣用反證法證明證明在上無解;從而得到，對成立,即存在常數，使得，，有成立,選取一個符合條件的函數判斷的最小值是,由上面證明結果確定即是符合條件的所有函數的結果.

試題解析：（I）因為且，

即在是增函數，所以

而在不是增函數，而

當是增函數時，有，所以當不是增函數時，.

綜上得

(Ⅱ) 因為，且

所以，

所以，

同理可證，

三式相加得

所以

因為所以

而，所以

所以

(Ⅲ) 因為集合且存在常數,使得任取

所以，存在常數，使得對成立

我們先證明對成立

假設使得，

記

因為是二階增函數，即是增函數.

所以當時，，所以

所以一定可以找到一個，使得

這與對成立矛盾

對成立

所以，對成立

下面我們證明在上無解

假設存在，使得，

則因為是二階增函數，即是增函數

一定存在，這與上面證明的結果矛盾

所以在上無解

綜上，我們得到，對成立

所以存在常數，使得，，有成立

又令，則對成立，

又有在上是增函數，所以，

而任取常數，總可以找到一個，使得時，有

所以的最小值為.