Question

下列四個命題：
①m=

2

是兩直線2x+my十1=0與mx+y-1=0平行的充分必要條件；②直線y=kx與圓（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒有公共點．③當x＞0且x≠1時，lgx+

1

lgx

≥2；④一橢圓內切于長為6，寬為2的矩形，在矩形內隨機地撒300顆黃豆，數得落在橢圓外的黃豆數為96顆，以此實驗數據為依據可以估算出橢圓的面積約為 8.16．正確命題的序號為

 

 （寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①把m=

2

代入兩方程，根據兩直線平行的條件得到兩直線平行；而當兩直線平行時，根據兩直線平行時所滿足的條件得到m=±

2

，進而得到本選項為假命題；
②觀察圓的方程發現，此圓為圓心為原點的單位圓，而直線為過原點的直線，所以兩者橫有公共點，本選項為真命題；
③當x大于0小于1時，lgx小于0，利用基本不等式得到lgx+

1

lgx

的最小值為-2，本選項為假命題；
④根據模擬方法來估算黃豆數的概率，利用實驗得到的頻率估算出概率，然后根據面積之比等于概率之比，即可求出橢圓的面積為8.16，本命題為真命題．

解答：解：①把m=

2

，代入得：
兩直線方程為2x+

2

y十1=0與

2

x+y-1=0，
由

2

2

=

2

1

，-1≠1，得到兩直線平行；
而兩直線平行時，由兩直線2x+my十1=0與mx+y-1=0，
得到

2

m

=

m

1

，即m²=2，解得m=

2

或m=-

2

，
所以m=

2

是兩直線2x+my十1=0與mx+y-1=0平行的充分不必要條件，本選項為假命題；
②由圓的方程得到圓心坐標為（cosθ，sinθ），半徑r=1，
得到此圓是圓心在原點的單位圓，而y=kx為過原點的直線，故直線與圓橫有公共點，本選項為真命題；
③當x＞0且x≠1時，得到lgx＜0或lgx＞0，
當lgx＜0時，lgx+

1

lgx

=-[（-lgx）+（-

1

lgx

）]≥-2，本命題為假命題；
④由題意可得：

S橢圓

S矩形

=P_{黃豆落在橢圓內}，
即S_橢圓=

300-96

300

×12=8.16，本命題為真命題．
綜上，正確命題的序號為②④．
故答案為：②④

點評：此題考查學生掌握兩直線平行時滿足的條件，掌握直線與圓的位置關系的判別方法，理解利用基本不等式的條件，掌握利用模擬方法來估算概率，是一道中檔題．