Question

已知函數(shù) (為實常數(shù))  
（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值；
（2）當(dāng)時，討論方程根的個數(shù)
（3）若，且對任意的，都有，求實數(shù)a的取值范圍

Answer 1

（1）當(dāng)時；（2）當(dāng)時，方程有2個相異的根；當(dāng) 或時，方程有1個根；當(dāng)時，方程有0個根；（3） 

解析試題分析：(1) 利用導(dǎo)數(shù)求解極值點，然后確定單調(diào)性，分析最值；(2)把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求最值，然后分析交點的情形即根的情形；（3）通過對函數(shù)單調(diào)性的分析，可得導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上大于零恒成立問題，然后轉(zhuǎn)化為最值求解
試題解析：（1），
當(dāng)時， 當(dāng)時，，
又，
故，當(dāng)時，取等號        4分
（2）易知，故，
方程根的個數(shù)等價于時，方程根的個數(shù)。
設(shè)=，
當(dāng)時，，函數(shù)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)遞增。
又，，作出與直線的圖像，由圖像知：
當(dāng)時，即時，方程有2個相異的根；
當(dāng) 或時，方程有1個根；
當(dāng)時，方程有0個根；               10分
（3）當(dāng)時，在時是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價于
即，故原題等價于函數(shù)在時是減函數(shù)，
恒成立，即在時恒成立。
在時是減函數(shù)              16分
（其他解法酌情給分）
考點：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值