Question

【題目】設復數β=x+yi（x，y∈R）與復平面上點P（x，y）對應．

（1）若β是關于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0（m∈R）的一個虛根，且|β|=2，求實數m的值；

（2）設復數β滿足條件|β+3|+（﹣1）n|β﹣3|=3a+（﹣1）na（其中n∈N*、常數），當n為奇數時，動點P（x、y）的軌跡為C1．當n為偶數時，動點P（x、y）的軌跡為C2．且兩條曲線都經過點，求軌跡C1與C2的方程；

（3）在（2）的條件下，軌跡C2上存在點A，使點A與點B（x0，0）（x0＞0）的最小距離不小于，求實數x0的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m=4（2） （3）或

【解析】

（1）由實系數方程虛根成對，利用韋達定理直接求出的值．

（2）分為奇數和偶數，化出的范圍，聯立雙曲線方程，求出值，推出雙曲線方程即可．

（3）設點的坐標，求出表達式，根據范圍，的對稱軸討論，時，的最小值，不小于，求出實數的取值范圍．

解：（1）是方程的一個虛根，則是方程的另一個虛根，

則，所以

（2）①當為奇數時，，常數，

軌跡為雙曲線，其方程為，；

②當為偶數時，，常數，

軌跡為橢圓，其方程為；

依題意得方程組

解得，

因為，所以，

此時軌跡為與的方程分別是：，；．

（3）由（2）知，軌跡，設點的坐標為，

則

，

當即時，，

當即時，，

綜上或．