Question

【題目】已知函數

（1）若函數在的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論函數的單調性.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）當a≤0時，f (x)在(0,+∞)上單調遞增；當a>0時，f(x)在(0,)上單調遞減，在(,+∞)上單調遞增.

【解析】

（1）由導數的幾何意義表示該點處切線的斜率，由其與已知直線垂直即斜率乘積為-1構建方程解得答案；

（2）由解析式可知定義域為(0,+∞)，由(1)可知，當a≤0時，顯然f'(x)>0，即可表示單調性；當a>0時，令f'(x)=0解得兩根（舍）或，由二次函數的圖象與性質可得f'(x)<0與 f'(x)>0的解集，即可表示單調性.

（1）因為函數，即

所以f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為f'(1)=2-a.

又因為f(x)在(1,f(1))處的切線與直線y=2-x垂直,且直線y=2-x的額斜率為-1,

所以，故a=1.

（2）f (x)的定義域為(0,+∞)，且由(1)可知

因為有，當a≤0時，顯然f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增；

當a>0時，令f'(x)=0得，其判別式△=1+4a>0

該方程有兩個不等實根為（舍）或

令f'(x)<0解得0<x<；令f'(x)>0解得x>，

所以f(x)在(0,)上單調遞減，在(,+∞)上單調遞增

綜上所述，當a≤0時，f (x)在(0,+∞)上單調遞增；當a>0時，f(x)在(0,)上單調遞減，在(,+∞)上單調遞增.