Question

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點、在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上．若，．

（）求向量，夾角的正切值．

（）問點在什么位置時，向量，夾角最大？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】分析：（）設向量與軸的正半軸所成的角分別為， 則向量所成的夾角為，由兩角差的正切公式可得向量夾角的正切值為；（）由 （1）知 ，利用基本不等式即可的結果.

詳解：（1）由題意知，A的坐標為A（0，6），B的坐標為B（0，4），C（x，0），x＞0

設向量，與x軸的正半軸所成的角分別為α，β，

則向量，所成的夾角為|β﹣α|=|α﹣β|，

由三角函數的定義知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，

得向量，的夾角的正切值等于tan（α﹣β）==，

故所求向量，夾角的正切值為tan（α﹣β）=；

（2）由 （1）知tan（α﹣β）==≤=，

所以tan（α﹣β）的最大值為時，夾角|α﹣β|的值也最大，

當x=時，取得最大值成立，解得x=2，

故點C在x的正半軸，距離原點為2，

即點C的坐標為C（2，0）時，向量，夾角最大．