Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，底面是梯形，，，，為棱上一點.

(1)若點為的中點，證明：平面.

(2) ，試確定的值使得二面角的大小為.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接，，根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立；

（2）先由題意得到，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設，根據，求出，分別求出平面與平面的一個法向量，根據向量夾角公式，以及二面角的大小，即可求出結果.

(1)如圖，取的中點，連接，.

∵點為的中點，∴，.

又，，

∴，，∴四邊形是平行四邊形.∴.

又平面，平面，∴平面.

(2)由平面，，可得，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.

設，則，.

∵，∴∴.

又易證平面，

∴是平面的一個法向量.

設平面的法向量為，

則即，解得

令，則.

∵二面角的大小為，

∴|，

解得：.

∵點在棱上，∴，∴