Question

（2009•黃岡模擬）已知A（1，0），B（-2，0），動點M滿足∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0）．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）若直線l：y=

1

3

x+b，且軌跡E上存在不同兩點C、D關于直線l對稱．
①求實數b的取值范圍；
②是否可能有A、B、C、D四點共圓？若可能，求實數b的值；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如何體現動點M滿足的條件∠MBA=2∠MAB是解決本題的關鍵．用動點M的坐標體現∠MBA=2∠MAB的最佳載體是直線MA、MB的斜率．
（2）先設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點（x₀，y₀）（x₁，x₂，x₀＜-1）．由點差法有y₀=-x₀．又y0=

1

3

x0+b；所以x0=-

3

4

b，y0=

3

4

b．又直線CD的方程為y=-3x-

3

2

b．將直線的方程代入（1）的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用到角公式即可求得b值，從而解決問題．

解答：解：（1）設動點M的坐標為（x，y），則tan∠MBA=

|y|

x+2

，tan∠MAB=

|y|

1-x

．
由∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0），得

|y|

x+2

=

2 |y| 1-x

1-( |y| 1-x )2

，
化簡得3x²-y²=3，
當∠MBA=

π

2

時也滿足．
顯然，動點M在線段AB的中垂線的左側，且∠MAB≠0，
故軌跡E的方程為 3x²-y²=3（x＜-1）．
（2）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點（x₀，y₀）（x₁，x₂，x₀＜-1）．
由點差法有 

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=3，即y₀=-x₀．
又y0=

1

3

x0+b；所以x0=-

3

4

b，y0=

3

4

b．
①由3(-

3

4

b)2-(

3

4

b)2＞3及x0=-

3

4

b＜-1得，b＞

2

3

6

．
②直線CD的方程為y-

3

4

b=-3(x-

3

4

b)，即y=-3x-

3

2

b．（b≠2）
上式代入3x²-y²=3得，8x²+12bx+3b²+4=0，
所以△=16（3b²-8），x1+x2=-

3

2

b，x1x2=

3b2+4

8

，x2-x1=

3b2-8

2

．
若A、B、C、D四點共圓，則∠CAD=60°，由到角公式可得 

y2(x1-1)-y1(x2-1)

(x1-1)(x2-1)+y1y2

=

3

即 

( 3 2 b+3)(x2-x1)

10x1x2+( 9 2 b-1)(x1+x2)+ 9 4 b2+1

=

3

，即 

3b2-8

=

3

(4-b)；解得b=

7

3

．
故可能有A、B、C、D四點共圓，此時b=

7

3

．

點評：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數法，本題主要用直接法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．