Question

在長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E、F分別在B B₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．

（1）求證：A₁C⊥平面AEF；

（2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等．

試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5時(shí)，求平面AEF與平面D₁B₁BD所成角的大小．（用反三角函數(shù)值表示）

 

Answer 1

答案：
解析：

證明： （1）因?yàn)?img align="absmiddle" width=95 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0026/0030/da32399dd70a5fe8885198e4951827a2/C/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">，所以在平面上的射影為． 由，，得． 同理可證． 因?yàn)?img align="absmiddle" width=31 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0026/0030/da32399dd70a5fe8885198e4951827a2/C/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1055">，， 所以． [解]（2）過作的垂線交．因?yàn)?img align="absmiddle" width=75 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0026/0030/da32399dd70a5fe8885198e4951827a2/C/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1064">，所以． 設(shè)所成的角為，則即為平面與平面所成的角． 由已知，計(jì)算得． 如圖建立直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn) ． 因?yàn)?img align="absmiddle" width=28 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0026/0030/da32399dd70a5fe8885198e4951827a2/C/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1075">與所成的角為，所以， ． 由定理知，平面與平面所成角的大小為．