Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點F₁、F₂和短軸的一個端點A構(gòu)成等邊三角形，點（

3

，

3

2

）在橢圓C上，直線l為橢圓C的左準(zhǔn)線，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是橢圓C上的點，作PQ⊥l，垂足為Q，以Q為圓心，PQ為半徑作圓Q，當(dāng)點F₁在該圓上時，求圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正三角形的性質(zhì)可知b=

3

c，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，將點（

3

，

3

2

）的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得c，則橢圓的方程可得．
（2）欲求圓的方程，關(guān)鍵是求出其圓心坐標(biāo)和半徑．設(shè)P點坐標(biāo)（x，y），則Q點坐標(biāo)（-4，y）由PQ=F₁Q，|x+4|=

(4-1)2+y2

，平方化簡得x²+8x-y²+7=0與橢圓方程解得P，從而求出半徑及圓心．

解答：解：（1）依題意可知b=

3

c
∴a=

b2+c2

=2c
∴橢圓方程變?yōu)椋?span id="sy0uc20" class="MathJye">

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
將點（

3

，

3

2

）的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得

( 3 )2

4c2

+

( 3 2 )2

3c2

=1，
∴c=1，
故橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）設(shè)P點坐標(biāo)（x，y），則Q點坐標(biāo)（-4，y）
由PQ=F₁Q，|x+4|=

(4-1)2+y2

，
平方化簡得x²+8x-y²+7=0與橢圓方程解得P（-

4

7

，±

3 15

7

），即Q的坐標(biāo)為（-4，±

3 15

7

）
r=4-

4

7

=

24

7

，
所求圓方程為(x+4)2+(y±

3 15

7

)2=

576

49

．

點評：本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)，考查了學(xué)生對橢圓基礎(chǔ)知識的把握和理解，考查了方程思想．