Question

【題目】設橢圓過點，且直線過的左焦點.

（1）求的方程；

（2）設為上的任一點，記動點的軌跡為，與軸的負半軸、軸的正半軸分別交于點，的短軸端點關于直線的對稱點分別為、，當點在直線上運動時，求的最小值；

（3）如圖，直線經過的右焦點，并交于兩點，且在直線上的射影依次為，當繞轉動時，直線與是否相交于定點？若是，求出定點的坐標，否則，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）當繞轉動時，直線與相交于定點

【解析】

（1）由題設知a＝2，進一步求得c，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）求出軌跡為Γ的方程，端點G、H的坐標，得到GH所在直線方程，設P的坐標，利用數量積的坐標運算把轉化為P的縱坐標的二次函數求最值；

（3）當直線l斜率不存在時，直線l⊥x軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK的中點N（，0），猜想，當直線l的傾斜角變化時，AE與BD相交于定點N（，0）．設出直線方程及A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．當直線l的傾斜角變化時，首先證直線AE過定點N（，0），再證點N（，0）也在直線lBD上，可得當l繞F轉動時，直線AE與BD相交于定點（，0）．

解：（1）由已知得a＝2，在直線x﹣5y+1＝0中，取y＝0，得x＝﹣1，可得c＝1．

∴b2＝a2﹣c2＝3，

∴橢圓C的方程為；

（2）由為C上的點，得，

∴Γ：，則G（﹣2，0），H（0，1），

∴GH：，即x﹣2y+2＝0．

橢圓C的短軸兩端點分別為（0，），（0，），

兩點關于直線y＝x的對稱點分別為F1（，0）、F2（，0），

設P（x0，y0），則x0﹣2y0+2＝0，

，，

則，

∴的最小值為；

（3）當直線l斜率不存在時，直線l⊥x軸，則ABED為矩形，

由對稱性知，AE與BD相交FK的中點N（，0），

猜想，當直線l的傾斜角變化時，AE與BD相交于定點N（，0）．

證明：設直線l方程y＝k（x﹣1），

直線l交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2），則D（4，y1），E（4，y2），

聯立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，

∴，，

當直線l的傾斜角變化時，首先證直線AE過定點N（，0），

∵AE：（x﹣4），當x時，y（

0，

∴點N（，0）在直線lAE上，

同理可證，點N（，0）也在直線lBD上．

∴當l繞F轉動時，AE與BD相交于定點（，0）．