Question

【題目】已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為4.

(1)求動圓圓心的軌跡的方程；

(2)點為軌跡上任意一點，直線為軌跡上在點處的切線，直線交直線于點，過點作交軌跡于點，求的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）16.

【解析】

（1）設出動圓圓心C的坐標，由圓的半徑、弦心距及半弦長的關系列式整理求得動圓圓心軌跡C的方程；（2）由拋物線方程設出P點坐標，利用導數得到切線PR方程，代入y＝﹣1得點R橫坐標，求PQ所在直線方程，和拋物線聯立，由根與系數關系得Q點橫坐標，求出線段PQ和PR的長度，由三角形面積公式得到面積關于P點橫坐標的函數，利用換元法及基本不等式求最值．

（1）設動圓圓心C（x，y），由動圓過定點A（0，2），且在x軸上截得的弦長為4得，|CA|2﹣y2＝4，即x2+（y﹣2）2﹣y2＝4，整理得：x2＝4y．∴動圓圓心的軌跡C的方程為x2＝4y；

（2）C的方程為x2＝4y，即，故，設P(t,)（t≠0），

PR所在的直線方程為，即，

令y=-1得點R橫坐標，|PR|=；

PQ所在的直線方程為，即，

由，得，

由得點Q橫坐標為，

∴|PQ|=，

，不妨設t＞0，,

記 ，則當t＝2時，f（t）min＝4,

則三角形面積的最小值為．