Question

【題目】已知函數.

（1）當時，判斷在上的單調性并證明；

（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】(1) 在上的單調遞減, 證明見解析 ;(2) ； (3) 見解析.

【解析】

(1) 當時,利用函數單調性的定義可判斷在上的單調性，并用定義法證明.
(2)利用分離參數的方法將不等式恒成立，化為，然后求最值即可.
(3) 函數的零點個數,即方程的實根的個數，可數形結合分析得出答案.

(1) 當,時, 在單調遞減.

證明：任取，

=

由，有，，

所以，即.

則，

所以當時，在上的單調遞減.

(2) 不等式恒成立,即

所以在上恒成立.

而(當即 時取得等號)，所以.

(3)由即,

所以 ,

設作出函數的圖象，如下.

由圖可知:當或時，有1個零點;

當或或時，有2個零點;

當或時，有3個零點;