Question

已知命題p：“方程x²+y²-x+y+m=0對應的曲線是圓”，命題q：“雙曲線mx²-y²=1的兩條漸近線的夾角為60°”．若這兩個命題中只有一個是真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是復合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復合命題的簡單命題的真假，再根據真值表進行判斷．

解答：∵命題p：“方程x²+y²-x+y+m=0對應的曲線是圓
∴若p真，由△=（-1）²+1²-4m＞0得：m＜

1

2

．
又∵命題q：“雙曲線mx²-y²=1的兩條漸近線的夾角為60°
∴若q真，由于漸近線方程為y=±

m

x(m＞0)，
由題，

m

=

3

或

3

3

，得：m=3或

1

3

．
∵若這兩個命題中只有一個是真命題
∴p真q假時，m∈(-∞，

1

3

)∪(

1

3

，

1

2

)；
  p假q真時，m=3．
綜上所述，所以實數m的取值范圍，m∈(-∞，

1

3

)∪(

1

3

，

1

2

)∪{3}

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假判定，屬于基礎題目