Question

過橢圓的左頂點作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為，與軸的交點為，已知.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，若軸上存在一定點，使得，求橢圓的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（I）根據,設直線方程為,
確定的坐標，由確定得到，
再根據點在橢圓上，求得進一步即得所求；
（2）由可設,
得到橢圓的方程為，
由得
根據動直線與橢圓有且只有一個公共點P
得到,整理得.
確定的坐標，
又, 
若軸上存在一定點，使得,那么
可得,由恒成立,故，得解.
試題解析：（1）∵ ,設直線方程為,
令,則,∴,                   2分
∴            3分
∵，∴=,
整理得          4分
∵點在橢圓上,∴,∴             5分
∴即,∴                   6分
（2）∵可設,
∴橢圓的方程為                              7分
由得             8分
∵動直線與橢圓有且只有一個公共點P
∴,即
整理得                            9分
設 則有,
∴                        10分
又,
若軸上存在一定點，使得,
∴恒成立 
整理得,                      12分
∴恒成立,故
所求橢圓方程為                  13分